Questão do espaço vetorial?

Alguém pode me ajudar a descobrir essas duas questões? Sua ajuda será muito apreciada. Desde já, obrigado!

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Seja V o conjunto de todos os números reais positivos. Determine se V i é um espaço vetorial com as seguintes operações.

x + y = xy (adição)

cx = x ^ c (multiplicação escalar)

Se for um espaço vetorial, verifique cada axioma do espaço vetorial; caso contrário, declare todos os axiomas do espaço vetorial que falham.

dois.

Sejam x, y e z vetores em um espaço vetorial V. Mostre que o conjunto de todas as combinações lineares de x, y e z

W = {ax + by + cz: a, b e c são escalares}

é um subespaço de V.

3 respostas

  • robertResposta favorita

    1. Seja V o conjunto de todos os números reais positivos. Determine se V i é um espaço vetorial com as seguintes operações.

    x + y = xy (adição)

    cx = x ^ c (multiplicação escalar)

    uma das propriedades é que 0x = 0 (vetor)

    mas com esta multiplicação escalar 0x = x ^ 0 = 1,

    portanto, não pode ser um espaço vetorial.

    Se for um espaço vetorial, verifique cada axioma do espaço vetorial; caso contrário, declare todos os axiomas do espaço vetorial que falham.

    2. Sejam x, y e z vetores em um espaço vetorial V. Mostre que o conjunto de todas as combinações lineares de x, y e z

    W = {ax + by + cz: a, b e c são escalares}

    é um subespaço de V.

    precisa verificar:

    1. 0 em W:

    mas se a = b = c = 0, então 0 está em W.

    2. se v, e w estão em W, precisa ver se w + v também está em W

    v = a1x + b1y + c1z

    w = a2x + b2y + c2z

    v + w = ​​(a1 + a2) x + (b1 + b2) y + (c1 + c2) z

    portanto, v + w também é um vetor em W.

  • ?

    Os espaços vetoriais são uma abstração matemática. Às vezes, você pode imaginá-los, às vezes não. Você mencionou o espaço vetorial que consiste em polinômios reais de grau 2 (ou menos! Isso é importante, pois x ^ 2 + 1 mais -x ^ 2 não é um polinômio de grau 2!). Na verdade, porém, esse espaço vetorial é isomórfico a R ^ 3 (o espaço euclidiano tridimensional), definindo {1, x, x ^ 2} como vetores de base para o espaço polinomial e mapeando 1 -> (1, 0, 0 ), x -> (0, 1, 0), x ^ 2 -> (0, 0, 1). Então, se isso te ajudar a imaginar, você pode olhar para ele como R ^ 3. A ideia do espaço vetorial é que ele tem esses elementos básicos e, portanto, você sempre pode dividi-lo dessa maneira. Mas tome cuidado, pois nem todos os espaços vetoriais são de dimensão finita. Por exemplo, o espaço de todas as funções contínuas reais pode ser considerado um espaço vetorial de dimensão infinita sobre os reais. Tente imaginar aquele!

  • dr_no4458

    1. V não é um espaço vetorial, falha na identidade aditiva

    x + 0 = 0 + x = x, para todo X em V, mas

    x + 0 = x * 0 = 0 que não é igual a x